Cómo el álgebra lineal ayudó a resolver un crimen

Ciencia y Tecnología

Escrito por: Heinz Möller 

A simple vista las matrices pueden parecer solo conjuntos de números e incógnitas, empero, si se agranda esa imagen, también pueden mostrar la historia que hay detrás. 

El 29 de Abril de 1992, Reginald Denny fue atacado mientras manejaba por una zona afectada por revueltas, fue detenido, bajado del camión y golpeado. Un helicóptero de policía lo grabó al pasar por la zona afectada por el amotinamiento de Rodney King en Los Angeles. Identificar a los culpables no fue sencillo, ya que la calidad del video no era buena. La manera en la que lograron dar con los atacantes fue por medio de matemáticas avanzadas aterrizadas a la tecnología. 

Las imágenes digitales están hechas de píxeles, uno de cada color (equivalente a un valor numérico). Esto significa que una imagen cuadrada hecha por 1 millón de pixeles (1000px x 1000px) puede ser representada como una matriz de la misma dimensión R1000×1000, donde las entradas son los valores de color de cada pixel. 

Cuando una matriz es dada, se puede interpretar como un conjunto de vectores tanto en fila como en columna. Esto puede representar un sistema de ecuaciones cuando se le multiplica un vector de incógnitas. Otra forma visual para representarlo puede ser mediante la suma o combinación linear de los vectores columna donde x, yz son ahora factores de escala: 

Al final obtenemos una combinación de ecuaciones que, en álgebra lineal, se aterrizan para representar un “Plano” en la dimensión de los números reales en un sistema tridimensional Ɍdonde la intersección de las tres ecuaciones es la solución. 

Es ahora en donde se concentran las matemáticas para resolver el crimen antes mencionado: manipular una imagen de baja calidad, por medio de matrices, para poder ver el cambio drástico en los colores o sombras de esta; ello cumple la función de intentar identificar alguna característica para reconocer al criminal.  

En la primera imagen se muestra el suceso original en donde, si bien se observan los cuerpos de los violentadores, no se puede detectar la identidad de las personas:  

 (L.A. P.D., 1992)

Como no fue posible identificar el rostro de ninguno de los involucrados se prosiguió a buscar características de diferentes partes del cuerpo, como los brazos. En la segunda imagen se muestra un acercamiento al brazo de uno de los violentadores: 

Esta era de muy baja calidad, así que un grupo de especialistas aplicaron matrices al algoritmo de los píxeles de la imagen para identificar las zonas en las que había un cambio de información cromática. La matriz utilizada para le resolución de este caso se conoce como Edge Detection Matrix: 

 (L.A. P.D., 1992)

El resultado final visual fue el siguiente, en donde podía identificarse una silueta particular en el brazo:  

Esta silueta, tras mayor investigación, se logró asociar con un tatuaje afiliado de una pandilla de Los Ángeles. 

Así, gracias a este tipo de procesamiento de imagen, se halló a los hombres que habían atacado a Reginald Denny. 

(L.A. P.D., 1992)

Lo planteado anteriormente es solo uno de los muchos problemas de la vida real que pueden ser entendidos o resueltos por medio del álgebra lineal. También puede usarse para representar las matrices como ecuaciones lineares en Electrónica en circuitos, en donde todos los voltajes y corrientes son la incógnita. No obstante, este tipo de circuitos se pueden complicar cuando hay componentes reactivos. Es entonces donde se juntan las matemáticas y la tecnología: el concepto simple del álgebra lineal se le puede enseñar a las computadoras, para que estas sean capaces de resolver dicho sistema siguiendo algorítmicamente los pasos necesarios. 

Pero, ¿qué pasaría con un sistema que evoluciona o cambia con el tiempo? Eso ya involucra a las famosas matrices de Markov, las cuales son normalmente usadas por Google para promocionar la página más visitada en la última hora. Este tipo de Algoritmo tiene la ventaja de poder percibir el cambio por medio de ecuaciones lineares. De hecho, es usado en epidemias para saber a la larga cómo se comportará el virus y las tasas de contagio. 

En conclusión, aún quedan muchas áreas de las matemáticas por explorar y aplicar a la resolución y entendimiento del día a día. La enseñanza en este tipo de casos es la importancia de la colaboración entre epistemologías y buscar entender los problemas desde distintos ángulos. Porque es el trabajo en conjunto el que nos permite ver la imagen completa y, simultáneamente, cada uno de los detalles que la conforman. 

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *